Markov Inequality, Chebyshev Inequality

1. Markov Inequality 마르코프 부등식

마르코프 부등식은 Y가 음이 아닌 확률변수이고, k가 양수일때, 

$$P(Y\ge k) \le  {E(Y)\over{k}}$$가 항상 성립한다를 말한다

 

Proof.

$$ E(Y) = \int_{\infty}^{\infty}yf(y)\,dy =\int_{0}^{\infty}yf(y)\,dy $$

 

$$ \int_{0}^{\infty}yf(y)\,dy = \int_{0}^{k}yf(y)\,dy + \int_{k}^{\infty}yf(y)\,dy  $$

 

$$ \int_{0}^{k}yf(y)\,dy + \int_{k}^{\infty}yf(y)\,dy \ge  \int_{k}^{\infty}yf(y)\,dy $$

 

$$ \int_{k}^{\infty}yf(y)\,dy  \ge \int_{k}^{\infty}kf(y)\,dy  $$

 

$$ E(Y) \ge kP(Y\ge k)$$

 

$$ {E(Y)\over{k}} \ge P(Y\ge k) $$

 

2.Chebyshev Inequality 체비셰프 부등식

체비셰프 부등식은 마르코프 부등식을 조금 다르게 적은 것이다

 

1) X가 확률변수이고, c 가 상수이고 d 가 양수라면 아래가 성립한다

$${E[(X-c)^2]\over{d^2}} \ge P(|X-c| \ge d) $$

-> $$ Y $$ 가 $$ (X-c) $$로, d가 k로

 

 

2) X가 확률변수이고 $$ E(X)=\mu , V(X)=\sigma^2 $$이면

$$ {\sigma^2\over d^2 } \ge P[ |X-\mu| \ge d ]  $$

- > $$ E[ (X- \mu)^2 ] = \sigma^2$$를 떠올리면 , 1)번에서 $$X-c$$가 $$(X-\mu)^2$$로

바뀌었음을 알 수 있다

 

3) 2)번에서 $$d=k\sigma$$ 이면

$$ {1\over {k^2}} \ge P( |X-\mu| \ge k\sigma ) $$

 

$$ 1- {1\over{k^2}} \le P(|X-\mu| < k\sigma)  $$

로 쓸수 있다