(n-1)s^2/sigma^2

Proof) $$ {(n-1)/s^2\over{\sigma^2}}  $$~$$ \chi(n-1)$$ 

 

1.

$$ {\sum (X_{i} -\mu)^2\over{\sigma^2}} = {1\over {\sigma^2} } (\sum (X_{i}-\bar{X})^2 + \sum(\bar{X}-\mu)^2)  $$

 

 

좌변의 $$ {\sum (X_{i} -\mu)^2\over{\sigma^2}} $$은 자유도 n의 카이자승 분포

우변의 두번째 항$$ {1\over {\sigma^2} } \sum(\bar{X}-\mu)^2  $$은 정리하면

따라서 우변의 첫번째 항 $$ ({{\sqrt{n} (\bar{X} -\mu)}\over{\sigma^2}})^2 $$ 으로 자유도 1의 카이자승 분포

 

카이자승 분포의 특성에 따라서

$$ {1\over{\sigma^2}} \sum(X_{i} - \bar{X})^2 $$ 은 자유도 n-1의 카이자승 분포를 가진다

 

 

2.

$$s^2  = {1\over{n-1}} \sum(X_{i} - \bar{X})^2 $$이다

 

$$ s^2(n-1) = \sum(X_{i} - \bar{X})^2 $$

 

 

양변을 $$ \sigma^2$$ 로 나눠주면

 

좌변은 증명하고자 하는 $$ s^2(n-1)\over{\sigma^2} $$

우변은 1.에서 도출한 자유도 n-1의 카이자승 분포 $$ {1\over{\sigma^2}} \sum(X_{i} - \bar{X})^2 $$

 

->따라서 

 $$ {(n-1)/s^2\over{\sigma^2}}  $$~$$ \chi(n-1)$$