확률함수 variable transform

1. Descrete CASE, PMF 변환

 

예를들어 $$B (4,{1\over{2}} )$$의 이항분포가 있다고하자

 

그리고 $$ Y= {1\over{X+1}}$$ 인 Y로 변환한다고하면

 

아래와 같이 변환된다

 

2. Continuous Case, PDF 변환

 

$$Y=u(X)$$라는 transform 함수는 monotone increase(decrease)임을 가정한다

이때 역함수는 $$X=u^{-1}(Y)=w(Y)$$

 

원래의 확률 밀도함수가 $$f(x)$$이면,

변환된 확률 함수는

$$|w'(Y)|f(w(Y))$$가 된다

 

예제)

$$Y=-lnX$$는 단조 감소함수고,

$$w(Y)=e^{-Y}$$다.

 

$$f(x) = 1 when 0<x<1$$인 uniform distribution

 

따라서 변환함수 $$g(y)= |-e^{-y} |* f( e^{-y}) = e^{-y} $$

 

2-1 log normal distribution

 

log normal distribution은 정규분포함수에 $$ Y= e^X $$ transform 한것이다

 

즉, $$lnY=X$$가된다.

 

정규분포의 확률밀도함수 $$f(x) = {1\over{\sigma \sqrt{2\pi} }} exp( {-(X-\mu)^2\over{2\sigma^2 }} )$$고

 

$$ w'(Y)= {dx\over{dy}}= {1\over{y}} $$

 

따라서 변환식 $$g(y) = {1\over{y\sigma \sqrt{2\pi} }} exp( {-(lny-\mu)^2\over{2\sigma^2 }} ) $$  $$ when   y>0 $$

 

$$ E(Y) = e^{\mu + {\sigma^2 \over{2}}}$$ 가 성립한다.